①0.999… =1
②0.999… ≠1
この２つの内で、正しいのはどちらでしょうか。
少し自分の頭を使って考えてみて、答えを出してください。
……
僕の勝手な予想だと、②を選んだ人が多いと思います。
なんとなくですが。
僕は中学生か高校生のころ、ある本を読んでいるときにこの問題と出会い、
数学の奥深さを知り、とても数学を好きになったのを覚えています。
この問題、実際の答えはどうなるのでしょうか。
では、数学が苦手な方にも分かるように簡単に答えを導きます。
まず、ひたすらに数字が書かれた数直線をイメージしてください。
数直線における数の性質で、
「a<b ならば a と b の間に数が存在する」
というものがあります。
このとき、0.999…と1が同じでないとすると、その間には
0.999…< X < 1
なるXが存在することになります。
しかし、そのような数Xというのは存在を証明できません。
よって
①0.999…=1
が成立するので、理論的には①が正解。
他にもたくさん証明方法はありますが、一番簡単な方法を見せました。
もしかしたら理系の人はカンタンだったかもしれません。
もっと詳しく知りたい人は、google先生に聞いてみましょう。
……
僕がこの事実を知ったのは前述の通り、たしか中学生か高校生のときで、
子ども向けの数学の本(博士の愛した数式みたいな)を読んでいたときでした。
それを読んだとき、とても腑に落ちない思いをしたのを覚えています。
0.999…は、小数点がついているんだから、確実に1より小さいじゃないか、と。
同じわけないじゃないか、と。
そんな考えても考えても到底わからない問題を、うーん、と考えるのが好きでした。
そして流れる月日の中で、いつのまにか、
そのような問題があったことすら忘れてしまいました。
……
最近僕が読んでいた講談社新書の「無限論の教室」のなかで、
またその議論が出てきました。
つまり、1=0.999…なのか、はたまた違うのか、というものです。
その本は新書なのですが、登場人物がそれぞれ話し合う形式になっています。
その中で、0.999…=1であると習った、と主張する学生に対して、博士は言います。
「私は、それには反対です。
0.999…と例えば9が百万回続いたとして、それは1に等しいですか。
それは1に限りなく近いですが、1ではありません。
君は実無限派。
私は可能無限派です」
どうやら、「無限」には実無限派と可能無限派が存在するらしい。
その実無限派とは、簡単に言うと、無数の点によって線分ができるという解釈。
それに対して可能無限派は、あくまでも可能性として無限を考える。
線分を切断すれば点が取り出せ、そしてそれはいつまでも続けていける可能性がある、
そういう解釈です。
とても概念的な難しいところですが、僕がここで言いたいのは、
「1≠0.999…と考えることもできる」
ということです。
……
博士の言うことが正しかった場合、先ほどの数直線の考え方を用いると、
「1と0.999…の間にはある数が存在する」
ことになります。
しかし、実際にはその数は数直線上には見えてきません。
目には見えないけれど、存在しているのです。
学生には見えなかったけれど、博士には見えているのです。
……
僕たち人間は、目に見えるものだけを信じようとしがちです。
特に今の若い人たちには、想像力が欠けているように思います。
ある被災地ボランティアに行った友人が、こんなことを言っていました。
「俺は被災地に行くのは初めてじゃなかったんだけど、
今回行ってみて感じたのは、ボランティアの質が下がっているということ。
ある大学生のボランティアさんがこう言っていた。
『思ってたより、ひどくないじゃんか』
彼は、そこまで復興するまでにどれほどの人が頑張ったのかを、
想像することができないんだ」
……
また、こんなこともありました。
僕がいま活動している環境NGO(以下アシード)に、
この春から韓国人の女の子が入ってきました。
その女の子は独学で日本語を勉強し、数ヶ月前に日本に一人でやってきて、
今はアルバイトをしながらアシードでの活動もしています。
アシードで先週末、新潟県に合宿に行きました。
その合宿の主な目的は二つあります。
一つはこの夏に活動するフジロックの現場を下見すること。
もう一つは、これからこのメンバーで活動するうえで、みんなに本音を話す場を設けることです。
後者の方は、大きな部屋でみんなが輪となり、一人につき五分程度時間を与えられ、
それぞれが好きなように想いを話します。
夜中6時間ほどかけて行われ、「スピリッツ共有」と呼んでいます。
その合宿の帰り道、その韓国人の女の子と、二人で話す機会がありました。
彼女は合宿で感じたことを教えてくれました。
「この合宿にきて、ここが日本なのか韓国なのか、わからなくなってしまったの。
うまく言えないけど、スピリッツ共有で、みんなの言ってることは全然わからないのに、
なぜか涙が出たんです。
言葉がわからなくても、みんなの気持ちは、伝わったんです」
東横線で熱心に、完璧ではない日本語で伝えようとしてくれる彼女。
うんうん、と頷きながら、僕は考えていました。
(僕と彼女の間に、本当に国境があるのだろうか？)
僕はそれまで、外国人との間に無意識に線を引いていました。
少なくとも外国人に対して、日本人と同じように接することはできなかった。
でもその夜に行われたスピリッツ共有は、想像力がいくつも重なって、
おそらく国境をも超えたんだと思います。
彼女も僕も、たとえ国籍は違ったとしても、一人の人間だったのです。
……
なぜ、無責任な発言をするのか。
なぜ、優しくなれないのか。
なぜ、いじめがあるのか。
なぜ、戦争をするのか。
それは、想像力が足りないから。
もっと想像して、もっと認め合うことができれば、平和に近づくことができるはず。
……
では、想像力とはなにか。
それは、
「1と0.999…の間に、いくつもの数を描けること」
だと思います。
博士のように、見えない数字を見ようとすることです。
心に存在する国境は、想像力があれば、なくすことができる。
僕たちに今必要なのは、そんな想像力。
あの人を、あの場所を、あの時間を、心の目でそっと見つめてみてください。
それはきっと、難しいことじゃないから。
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